Üçüncü dereceden denklemler, derecesi 3 olan polinomların oluşturduğu denklemlerdir. Bu denklemlerin genel formu aşağıdaki gibidir:
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
x değişken yani bilinmeyendir ve a, b c ve d katsayılar, d ise sabit sayıdır.
Üçüncü dereceden denklemlerin kökleri, denklemin x’e eşit olduğu noktalardır. Örneğin,
x^3 + 2x^2 - 3x + 1 = 0
denkleminin kökleri x = -1, x = 1 ve x = -1/3’tür.
Üçüncü dereceden denklemlerin köklerini bulmanın çeşitli yolları vardır. Bu yollardan bazıları şunlardır:
- Klasik çözüm: Bu yöntem, denklemin köklerini bulmak için Vieta teoremini kullanır. Vieta teoremine göre, üçüncü dereceden bir denklemin köklerinin toplamı, katsayılarının arasına yazılan çarpıma eşittir. Köklerin çarpımı ise, katsayıların çarpımına eşittir.
Bu yöntemi kullanarak, yukarıdaki denklemin köklerinin toplamının 2 ve çarpımının -1 olduğunu buluruz. Bu bilgilerden, köklerin 2’ye bölünecek ve -1’in bir katsayısı olacak şekilde bir kombinasyonu olduğunu söyleyebiliriz. Bu kombinasyonlardan biri, -1 ve 1’dir. Bu kökleri denklemde yerine yazarsak, denklemin sağlandığını görürüz.
- Factoring: Bu yöntem, denklemin faktörleştirilmesini kullanarak köklerini bulur. Örneğin,
x^3 + 2x^2 - 3x + 1 = (x - 1)(x^2 + 3x - 1)
şeklinde faktörleştirebiliriz. Bu durumda, denklemin kökleri x = 1 ve x^2 + 3x – 1 = 0 denkleminin kökleridir. Bu ikinci denklemin köklerini bulmak için ise, köklerin toplamının 3 ve çarpımının -1 olduğunu kullanarak klasik çözümü uygulayabiliriz.
-
-
Rational Roots Theorem: Bu teoreme göre, bir polinomun reel kökleri, o polinomun katsayılarının bölünmesiyle elde edilen tam sayıların içinde bulunur. Bu teoremi kullanarak, üçüncü dereceden bir denklemin köklerinin reel sayı olup olmadığını ve varsa, hangileri olabileceğini belirleyebiliriz.
-
Graphing: Bu yöntem, denklemin grafiğini çizerek köklerini bulur. Örneğin,
-
şeklinde bir grafik çizersek, denklemin x = 1, x = -1 ve x = -1/3 noktalarında kesildiğini görebiliriz. Bu noktalar, denklemin kökleridir.
- Numerical Methods: Bu yöntemler, denklemin köklerini sayısal olarak bulmak için kullanılır. Bu yöntemler, denklemin köklerine yakın bir başlangıç noktası seçerek ve bu noktadan başlayarak köklere doğru ilerleyerek çalışır.
Üçüncü dereceden denklemlerin kökleri, gerçek veya karmaşık olabilir. Reel kökler, sayı doğrusunda bulunur. Karmaşık kökler ise, sayı düzlemi üzerinde bulunur.
Üçüncü dereceden denklemlerin köklerinin sayısı, katsayılarının özelliklerine göre değişir. Örneğin,
- Eğer a ≠ 0 ve b^2 – 4ac > 0 ise, denklemin üç tane reel kökü vardır.
- Eğer a ≠ 0 ve b^2 – 4ac = 0 ise, denklemin bir tane ikiz reel kökü vardır.
- Eğer a ≠ 0 ve b^2 – 4ac < 0 ise, denklemin üç tane karmaşık kökü vardır.
Üçüncü dereceden denklemlerin köklerini bulmak, matematikte önemli bir konudur. Bu konu, mühendislikte, fizikte ve diğer birçok alanda kullanılır.