3 Boyutlu İki Vektör Arasındaki Açı
Giriş
Vektörler, büyüklüğü ve yönü olan matematiksel nesnelerdir. Üç boyutlu uzayda, vektörler üç bileşene sahiptir: x, y ve z. İki vektör arasındaki açı, vektörlerin yönleri arasındaki ölçüdür.
İki Vektör Arasındaki Açının Hesaplanması
İki vektör arasındaki açı, aşağıdaki formülle hesaplanabilir:
θ = arccos((a · b) / (||a|| ||b||))
burada:
- θ, vektörler arasındaki açıdır
- a ve b, vektörlerdir
- a · b, vektörlerin nokta çarpımıdır
- ||a|| ve ||b||, vektörlerin büyüklükleridir
Nokta Çarpımı
Nokta çarpımı, iki vektörün yönleri arasındaki ilişkiyi ölçen bir işlemdir. Nokta çarpımı, aşağıdaki formülle hesaplanır:
a · b = a<sub>x</sub>b<sub>x</sub> + a<sub>y</sub>b<sub>y</sub> + a<sub>z</sub>b<sub>z</sub>
burada:
- a ve b, vektörlerdir
- ax, ay ve az, vektör a’nın x, y ve z bileşenleridir
- bx, by ve bz, vektör b’nin x, y ve z bileşenleridir
Vektörlerin Büyüklükleri
Bir vektörün büyüklüğü, aşağıdaki formülle hesaplanır:
||a|| = √(a<sub>x</sub><sup>2</sup> + a<sub>y</sub><sup>2</sup> + a<sub>z</sub><sup>2</sup>)
burada:
- ||a||, vektör a’nın büyüklüğüdür
- ax, ay ve az, vektör a’nın x, y ve z bileşenleridir
Örnek
İki vektör a = (1, 2, 3) ve b = (4, 5, 6) arasındaki açıyı hesaplayalım.
- Nokta çarpımı: a · b = (1)(4) + (2)(5) + (3)(6) = 32
- Vektörlerin büyüklükleri: ||a|| = √(12 + 22 + 32) = √14 ve ||b|| = √(42 + 52 + 62) = √77
- Açının hesaplanması: θ = arccos((32) / (√14)(√77)) ≈ 26,5°