3. Dereceden Denklemler Kök Bulma
Giriş
Matematikte, bir denklemin kökü, denklemin eşitliğini sağlayan x değeridir. Örneğin, x + 1 = 0 denklemi için x = -1 köktür. Bu denklemde x’in 1’den küçük veya eşit olması gerekir.
-
dereceden denklemlerin kökleri, denklemin katsayılarını çarparak bulunur. Örneğin, 2x – 3 = 0 denklemi için x = 3/2 köktür.
-
dereceden denklemlerin kökleri, diskriminant yöntemi ile bulunur. Diskriminant, denklemin katsayılarından elde edilen bir değerdir. Diskriminantın değeri sıfırdan küçükse, denklemin iki reel kökü vardır. Diskriminantın değeri sıfırdan büyükse, denklemin bir reel kökü ve bir kompleks kökü vardır. Diskriminantın değeri sıfır ise, denklemin tek bir reel kökü vardır.
-
dereceden denklemler, 1. ve 2. dereceden denklemlerden daha karmaşıktır. 3. dereceden denklemlerin kökleri, Cardano formülü ile bulunur. Cardano formülü, 16. yüzyılda İtalyan matematikçi Gerolamo Cardano tarafından geliştirilmiştir.
Cardano Formülü
Cardano formülü, 3. dereceden denklemlerin köklerini bulmak için kullanılan bir formüldür. Formülü şu şekilde ifade edebiliriz:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
Bu formülde, a, b ve c, denklemin katsayılarını temsil eder.
Formüldeki √(b² – 4ac) değeri, diskriminanttır. Diskriminantın değeri sıfırdan küçükse, denklemin üç reel kökü vardır. Diskriminantın değeri sıfırdan büyükse, denklemin bir reel kökü ve iki kompleks kökü vardır. Diskriminantın değeri sıfır ise, denklemin iki reel kökü vardır.
Formülün Kullanımı
Cardano formülü, 3. dereceden denklemlerin köklerini bulmak için kullanılır. Formülü kullanmak için öncelikle denklemin katsayılarını a, b ve c olarak belirlememiz gerekir. Ardından, formülün içine katsayıları yerleştirerek kökleri hesaplayabiliriz.
Örneğin, x³ – 3x² + 2x – 1 = 0 denklemi için katsayıları şu şekilde belirleriz:
a = 1
b = -3
c = 2
Formülü bu katsayılarla kullanarak kökleri hesaplayabiliriz:
x = (-(-3) ± √((-3)² - 4 * 1 * (-1))) / (2 * 1)
x = (3 ± √(9 + 4)) / 2
x = (3 ± √13) / 2
Bu şekilde hesapladığımız kökler, x = 1.3247, x = -0.6753 ve x = -0.25 şeklindedir.
Formülün Kısıtlamaları
Cardano formülü, 3. dereceden denklemlerin köklerini bulmak için kullanılan etkili bir formüldür. Ancak, bazı durumlarda formül kullanılamaz. Bu durumlar şunlardır:
- Diskriminantın değeri sıfırdan küçükse, denklemin üç reel kökü vardır. Bu durumda, formül kökleri hesaplayamaz.
- Diskriminantın değeri sıfır ise, denklemin iki reel kökü vardır. Bu durumda, formül kökleri hesaplayabilir ancak köklerin tam değerlerini hesaplayamaz.
Bu durumlarda, kökleri bulmak için başka yöntemler kullanılabilir.
Diğer Yöntemler
- dereceden denklemlerin köklerini bulmak için kullanılan diğer yöntemler şunlardır:
- Newton-Raphson yöntemi: Bu yöntem, kökü tahmin ederek ve tahmini kökü kullanarak yeni bir tahmin yaparak kökü bulmaya çalışır.
- Halley yöntemi: Bu yöntem, Newton-Raphson yöntemine göre daha hızlı sonuç verir.
- Lagrange çarpanları yöntemi: Bu yöntem, kökleri bulmak için denklemin katsayılarını kullanarak bir polinom oluşturur.
Bu yöntemler, Cardano formülü kullanılamadığı durumlarda kullanılabilir.
Sonuç
- dereceden denklemlerin köklerini bulmak