Geometrik Dizi Toplam Formülü

Geometrik Dizi Toplam Formülü

Giriş

Matematikte, bir dizi, birbirini takip eden sayıların oluşturduğu bir koleksiyondur. Diziler, genel terimi ve aritmetik ortalaması gibi özellikleriyle tanımlanabilir. Geometrik diziler, her terimin bir önceki terime belirli bir katsayı ile çarpılmasıyla oluşturulan dizilerdir.

Geometrik Dizilerin Özellikleri

Bir geometrik dizinin özellikleri şunlardır:

  • Her terim, bir önceki terime belirli bir katsayı ile çarpılır. Bu katsayı, geometrik dizideki her terim için aynıdır.
  • Geometrik dizilerin toplamı, terimlerin bir fonksiyonudur. Bu fonksiyon, geometrik dizinin ilk terimi, katsayısı ve terim sayısını dikkate alır.

Geometrik Dizilerin Toplam Formülü

Geometrik dizilerin toplamı için kullanılan formül şu şekildedir:

S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}

Bu formülde:

  • $S_n$, geometrik dizinin ilk $n$ terimin toplamıdır.
  • $a_1$, geometrik dizinin ilk terimidir.
  • $r$, geometrik dizinin katsayısıdır.
  • $n$, geometrik dizinin terim sayısıdır.

Geometrik Dizilerin Toplam Formülünün İspatı

Geometrik dizilerin toplam formülü, aşağıdaki gibi ispatlanabilir:

S_n = a_1 + a_1r + a_1r^2 + a_1r^3 + ... + a_1r^{n-1}

Bu seriyi, aşağıdaki gibi yeniden düzenleyebiliriz:

S_n = a_1(1 + r + r^2 + r^3 + ... + r^{n-1})

Bu seriyi, aşağıdaki gibi genişletebiliriz:

S_n = a_1 \frac{(1-r^n)}{1-r}

Bu formül, geometrik dizilerin toplamı için kullanılan formüldür.

Geometrik Dizilerin Toplam Formülü Örnekleri

Geometrik dizilerin toplam formülü, aşağıdaki örneklerde görüldüğü gibi kullanılabilir:

Örnek 1

Bir geometrik dizinin ilk terimi 1, katsayısı 2 ve terim sayısı 4 ise, dizinin toplamı aşağıdaki gibi hesaplanır:

S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}
S_4 = \frac{1(1-2^4)}{1-2}
S_4 = \frac{-23}{-1}
S_4 = 23

Örnek 2

Bir geometrik dizinin ilk terimi 10, katsayısı -0,5 ve terim sayısı 6 ise, dizinin toplamı aşağıdaki gibi hesaplanır:

S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}
S_6 = \frac{10(1-(-0.5)^6)}{1-(-0.5)}
S_6 = \frac{10(1-0.015625)}{0.5}
S_6 = \frac{9.984375}{0.5}
S_6 = 19.96875

Geometrik Dizilerin Toplam Formülü Uygulamaları

Geometrik dizilerin toplam formülü, birçok uygulamada kullanılabilir. Örneğin, aşağıdaki durumlarda kullanılabilir:

  • Faiz hesaplamalarında
  • İndirim hesaplamalarında
  • Amortisman hesaplamalarında
  • Stok değerlemelerinde
  • İstatistikte

Sonuç

Geometrik dizilerin toplam formülü, geometrik dizilerin toplamını hesaplamak için kullanılan önemli bir formüldür. Bu formül, birçok uygulamada kullanılabilir.

Yayımlandı

kategorisi