Geometrik Dizi

Geometrik Dizi

Matematikte, geometrik dizi olarak da bilinen geometrik ilerleme, birinciden sonraki her terimin bir öncekini ortak oran adı verilen sabit, sıfır olmayan bir sayı ile çarparak bulunduğu sıfır olmayan sayılar dizisidir. Örneğin, 2, 6, 18, 54, … dizisi, ortak oranı 3 olan bir geometrik dizidir.

Geometrik diziler, finans, fizik, mühendislik, ekonomi ve diğer birçok alanda yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, faiz hesaplamalarında, kar marjı hesaplamalarında, ışık saçılmasında ve parabolik hareketin modellenmesinde geometrik diziler kullanılmaktadır.

Geometrik Dizilerin Özellikleri

Geometrik dizilerin aşağıdaki özellikleri vardır:

  • Ardışık terimler arasındaki oran sabittir.
  • Dizideki sayılar sıfırdan farklıdır.
  • Dizideki sayılar, ortak oran kullanılarak elde edilebilir.

Geometrik Dizilerin Genel Terimi

Geometrik dizilerin genel terimi aşağıdaki gibidir:

a_n = a_1 r^{n-1}

Burada:

  • a_n: Dizinin n. terimidir.
  • a_1: Dizinin ilk terimidir.
  • r: Dizinin ortak oranıdır.

Örnek:

2, 6, 18, 54, … dizisi için:

  • a_1 = 2
  • r = 6/2 = 3
a_2 = a_1 r = 2 * 3 = 6
a_3 = a_2 r = 6 * 3 = 18
a_4 = a_3 r = 18 * 3 = 54

Geometrik Dizilerin Toplamı

Geometrik dizilerin toplamı, aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

S_n = \frac{a_1 (1-r^n)}{1-r}

Burada:

  • S_n: Dizinin n. terimine kadarki toplamıdır.
  • a_1: Dizinin ilk terimidir.
  • r: Dizinin ortak oranıdır.
  • n: Dizinin son terimidir.

Örnek:

2, 6, 18, 54, … dizisi için, n = 4 ise:

S_4 = \frac{2 (1-3^4)}{1-3} = \frac{2 (-80)}{-2} = 80

Geometrik Dizilerin Özellikleri ile İlgili Uygulamalar

Faiz Hesaplama

Faiz hesaplamalarında, anapara, faiz oranı ve faiz periyodu kullanılarak, faizin miktarı hesaplanır. Bu hesaplamalarda, geometrik diziler kullanılabilir.

Örneğin, 1000 TL’lik bir anaparaya, %10 faiz oranı ile, 3 aylık vade ile uygulanacak faizin miktarı aşağıdaki gibi hesaplanır:

  • a_1 = 1000
  • r = 1 + 0.1 = 1.1
  • n = 3
S_3 = \frac{a_1 (1-r^n)}{1-r} = \frac{1000 (1-1.1^3)}{1-1.1} = 231.03

Yani, 1000 TL’lik bir anaparaya, %10 faiz oranı ile, 3 aylık vade ile uygulanacak faizin miktarı 231.03 TL’dir.

Kar Marjı Hesaplama

Kar marjı, bir işletmenin satışlarından elde ettiği karın, satışların toplamına oranıdır. Bu hesaplamalarda, geometrik diziler kullanılabilir.

Örneğin, bir işletmenin 100 TL’lik bir satıştan elde ettiği kar 10 TL ise, kar marjı aşağıdaki gibi hesaplanır:

  • a_1 = 10
  • r = 10/100 = 0.1
  • n = 1
S_1 = \frac{a_1 (1-r^n)}{1-r} = \frac{10 (1-0.1^1)}{1-0.1} = 0.9

Yayımlandı

kategorisi