Geometrik Dizi Formülleri
Geometrik diziler, ardışık terimler arasındaki oranın sabit olduğu dizilerdir. Bu oran, ortak oran olarak adlandırılır. Geometrik dizilerde, bir önceki terimin ortak oran ile çarpılmasıyla sonraki terim elde edilir.
Geometrik Dizilerin Tanımı
Geometrik diziler, aşağıdaki gibi tanımlanır:
n ∈ Z + ve r ∈ R olmak üzere, her n için, a_n+1/a_n = r ise bu dizi bir geometrik dizidir.
Bu tanımdan, geometrik dizilerin aşağıdaki özellikleri yola çıkar:
- Her geometrik dizinin ilk terimi (a_1) ve ortak oranı (r) vardır.
- Bir geometrik dizinin terimleri, ortak oran ile çarpılarak sırayla elde edilir.
- Geometrik dizilerin terimleri, pozitif, negatif veya sıfır olabilir.
Geometrik Dizilerin Genel Terimi
Geometrik dizilerin genel terimi, aşağıdaki gibi ifade edilir:
a_n = a_1 * r^(n-1)
Bu formülde,
- a_n: Dizinin n. terimi
- a_1: Dizinin ilk terimi
- r: Dizinin ortak oranı
Geometrik Dizilerin Toplamı
Geometrik dizilerin toplamı, aşağıdaki gibi ifade edilir:
S_n = a_1 * (1-r^n)/(1-r)
Bu formülde,
- S_n: Dizinin ilk n terim toplamı
- a_1: Dizinin ilk terimi
- r: Dizinin ortak oranı
- n: Dizinin terim sayısı
Geometrik Dizilerde Ortak Oran
Geometrik dizilerde, ardışık terimler arasındaki oran, ortak oran olarak adlandırılır. Ortak oran, dizinin n. terimini, (n-1). terim ile çarparak elde edilir.
r = a_n/a_{n-1}
Geometrik Dizilerin Özellikleri
Geometrik dizilerin aşağıdaki özellikleri vardır:
- Dizideki terimlerin mutlak değerleri, ortak oranın mutlak değerine göre büyür veya küçülür.
- Ortak oran sıfırdan büyükse, dizinin terimleri sonsuza doğru artar.
- Ortak oran sıfırdan küçükse, dizinin terimleri sonsuza doğru azalır.
- Ortak oran 1 ise, dizinin terimleri sabit kalır.
Geometrik Dizilerin Uygulama Alanları
Geometrik diziler, birçok alanda kullanılır. Örneğin,
- Faiz hesaplamalarında
- İnşaat işlerinde
- İstatistikte
- Bilgisayar bilimlerinde
geometrik diziler kullanılmaktadır.
Geometrik Dizilerin Örnekleri
Örnek 1:
(2, 4, 8, 16, …) dizisi bir geometrik dizidir. Bu dizinin ilk terimi 2, ortak oranı ise 2’dir.
Örnek 2:
(1/2, 1/4, 1/8, …) dizisi bir geometrik dizidir. Bu dizinin ilk terimi 1/2, ortak oranı ise 1/2’dir.
Örnek 3:
(1, 1/2, 1/4, …) dizisi bir geometrik dizidir. Bu dizinin ilk terimi 1, ortak oranı ise -1/2’dir.
Örnek 4:
(1, 1, 1, …) dizisi bir geometrik dizidir. Bu dizinin ilk terimi 1, ortak oranı ise 1’dir.
Geometrik Dizilerle İlgili Problemler
Geometrik dizilerle ilgili aşağıdaki gibi problemler çözülebilir:
- Dizinin n. terimini bulma
- Dizinin ilk n terim toplamını bulma
- Dizinin ortak oranını bulma
- Dizinin terimleri arasındaki ilişkiyi bulma
Geometrik Dizilerle İlgili Çözümler
Geometrik dizilerle ilgili problemleri çözmek için, geometrik dizi formülleri kullanılabilir. Örneğin, bir geometrik dizinin n. terimini bulmak için, genel terim formülü kullanılabilir.
Sonuç
Geometrik diziler